# why - 在[[链式法则]]中，用于计算复合函数的导数 # what - 导数（Derivative）是微积分中的一个核心概念，直观地说，它描述的是函数在某一点上的变化快慢或变化率。通俗地讲，导数反映了函数在某一点处的**瞬时变化率**。 # how ## 数学定义： - 如果有一个函数 $f(x)$，那么在点$x$处的导数用以下极限定义表示： $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$​ - 这里的 $h$ 表示一个非常微小的变化量； - $f(x+h)−f(x)$表示函数值的变化； - 当 $h$ 接近 0 时，这个比例趋近于函数在点 $x$ 的瞬时变化率，也就是导数。 ## 导数的几何意义： 几何上，函数在某一点处的导数等于该点切线的[[斜率]]。 - 如果导数值为**正**，说明函数在该点处是上升的； - 如果导数值为**负**，说明函数在该点处是下降的； - 如果导数值为**零**，说明该点可能是函数的极值点（局部最大或最小值）。 ## 导数的实际应用： - **物理学**：运动速度、加速度都是位置或速度函数的导数； - **经济学**：[[边际成本]]、[[边际效益]]； - **深度学习**：梯度下降法中，使用**导数（梯度）** 决定如何更新神经网络的参数，以降低误差。 ## 常见的导数公式： ^6e9ae8 - 常数函数 $c$：导数为 0。 - 幂函数 $x^n$：导数为 $nx^{n-1}$。 - 指数函数 $e^x$：导数为 $e^x$。 - 对数函数 $\ln(x)$：导数为 $\frac{1}{x}$​。 - 三角函数：如 $\sin(x)$ 的导数是 $cos⁡(x)$。 --- # how good # Ref.